Ни аза не знать (не смыслить)

Называя буквы азбуки, мы говорим сейчас: "а", "бэ", "вэ" и так далее. Лет сто назад еще заучивали славянские их названия: "аз, буки, веди, глаголь..."
Тот, кто не знал ни аза, не знал или не смыслил решительно ничего, даже самого начала науки.
В таком значении слова эти живут и по сей день.

Ни бельмеса не смыслить (не понимать)

Сочетание слов и смысл их почти те же, что в предыдущем случае, а происхождение совершенно другое.
"Бильмез" по-татарски означает: невежда, ничего не знающий человек (точнее, "бильмез" - "он не знает").
Общаясь с татарами, русские часто слышали от них слово "бильмез", когда выяснялось чье-нибудь полное невежество. Понятно, как в конце концов сложилась и эта полурусская, полутатарская поговорка.

Ни богу свечка, ни чёрту кочерга

Означает: "Ни к чему не подходящее ..."
аналогично выражениям: "Ни то, ни сё"; "Ни к селу, ни к городу"; "Не пришей кобыле хвост" и т.д.

Ни грана

Вы, наверно, слышали, как о каком-нибудь точном измерении говорят "как в аптеке". Было время, когда именно только в аптеках приходилось иметь дело с очень малым весом, с большой точностью измерения (теперь в наших лабораториях и на заводах точной механики "аптекарская точность" показалась бы весьма жалкой).
Между тем в аптеках в прошлом (а кое в каких странах и сейчас) лекарственные вещества взвешивали на граны.
Слово "гранум" по-латыни "зерно"; гран и равнялся весу среднего ячменного зерна - около 0,06 грамма.
Мера эта казалась всем тогда такой ничтожной, что сказать "ни грана" было то же, что "ни самой малой капельки", "ничего".
О гранах мы давно забыли, а это старинное "ни грана правды", "ни грана чувства" живет и сейчас.
В том же смысле употреблялось обозначение и другой мелкой меры: "скрупула". И хотя "скрупул" (по-латыни - "камешек") содержал в себе целых 20 гранов, тем не менее именно от этого слова родилось прилагательное "скрупулёзный" - "точный до мелочности".

Ни гроша, ни полушки

Грош - название монеты. Слово это, как и те монеты, которые оно означало, пережило длинную и запутанную историю. Вы уверены, например (да и наша поговорка это подтверждает), что грош - очень мелкая монета. Но ведь слово "грош" -это немецкое "гросс": большой, образованное от латинского "гроссус денариус" - "тяжелая монета".
Так в Западной Европе долго и называли золотые и серебряные монеты большей, чем обычно, величины.
И у нас на Руси первоначальное слово "грош" применялось к разным монетам - в две копейки и т. п. Но уже лет сто назад оно стало означать полкопейки (после 1815 года); слова "ни гроша" и "ни полушки" слились и приняли значение: "ни даже мельчайшей денежки".
Разобравшись в истории этого словосочетания, можно твердо сказать: оно не очень древнее; в дни допетровские, когда грош равнялся двум копейкам, сказать: "ни гроша нет" - вовсе не значило "ничего нет".
Двухкопеечный грош был совсем не такой уж мелочью; на него можно было кое-как день прожить. Ведь не говорим же мы сейчас, желая описать полное отсутствие денег: "у меня ни рубля нет"; говорим: "ни копейки", ибо это - самая мелкая монета.
Не старше 100-150 лет, очевидно, и другие пословицы и поговорки, связанные со словом "грош": "Не было ни гроша, да вдруг алтын" (то есть три копейки, пятиалтынный - пятнадцатикопеечная монета), "Ломаного гроша дать нельзя", "Толку ни на грош" и т. д.