Под сапогом (башмаком) быть

Вспомните "Робинзона Крузо". Когда только что спасенный Робинзоном дикарь, будущий Пятница, старался заслужить доверие и покровительство повелителя, он, среди прочих знаков покорности, многократно ложился перед хозяином на землю и ставил себе на голову его ногу.
У многих народов было принято падать ниц перед господином и ставить его ногу себе на шею или на голову, выражая этим свое повиновение и покорность. Обычай этот отразился в словосочетании: "под пятой" - то есть "под властью", "под игом".
Из всего этого уже легко понять и смысл шуточного выражения, стоящего в нашем заголовке: "Быть под башмаком" - быть в подчинении у кого-либо, под чьей-либо властью.

Под спудом

"Из-под спуда" - значит из тайника. Но откуда взялось это под спудом? По-старославянски "спуд" - то же, что наше "сосуд". Держать под спудом - прятать под опрокинутым сосудом.
Известен такой евангельский образ: "Зажегши свечу, не ставят ее под спудом, но на подсвечнике". От него и пошло наше фигуральное выражение "под спудом" - в потаенном месте, в секрете и забвении.

Под сурдинку

Сурдинка в языке музыкантов - небольшое приспособление, при помощи которого можно ослабить, приглушить звук того или другого музыкального инструмента. Слово это происходит от латинского "сурдус" - "глухой". Играть "под сурдиной" в музыке и значит пользоваться таким приспособлением. В общей же речи словосочетание "под сурдинку" применяется в смысле: украдкой, втихомолку, стараясь не привлекать к себе внимания.
Хочется обратить внимание на два обстоятельства: во-первых, перед нами типичный случай такого ходового выражения, которое родилось не в народной гуще, а, напротив того, среди образованных людей. Во-вторых, как это ни странно, слову "сурдинка" близко, родственно совсем на него не похожее слово "абсурд" (чушь, нелепость); "abstir-do" - по-латыни "от глухого", то есть "то, что можно услышать от глухого человека", чепуха.

Под счастливой звездой (родиться)

Астрономия - наука о небе и небесных телах. Рядом с этой наукой существует и наука астрология. Астрологи уверяют, будто "судьба" человека зависит от того, "под какой звездой он родился", потому что разные звезды в разное время года и суток поднимаются на небосклон, а люди родятся тоже в разное время. Составляя гороскопы - особые "волшебные" таблицы расположения звезд на небе и их движения, - звездочеты предсказывают события и в жизни людей и в жизни всего мира. При этом некоторые звезды у них числятся "счастливыми", другие - нет.
Отсюда и пошло сочетание слов: "родиться под счастливой звездой", так же как и многие другие образные выражения: "его звезда взошла" или "закатилась" (то есть "началась" или "кончилась" его слава), "Наполеон свято верил в свою звезду", в то, что ему предназначена блестящая будущность.
Сегодня каждый поймет, что значит "он родился под счастливой звездой": это значит - он удачник, ему вечно везет.

Под эгидой

В Древней Греции слово "эгис" первоначально означало козью шкуру, которой обтягивали ивовые щиты, потом и самый боевой щит - прикрытие. Щит отца богов Зевса, обтянутый шкурой козы Амалфеи (см. "Рог изобилия"), тоже именовался "эгидой". Поэтому "быть под эгидой", "действовать под эгидой" означает: пользоваться чьим-либо покровительством, защитой.